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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 7 - Sucesiones y series

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7.4. Para cada sucesión indicar su límite al infinito
d) an=7n+5nna_{n}=\sqrt[n]{7^{n}+5^{n}}

Respuesta

Ahora queremos calcular este límite:

lim⁡n→+∞ 7n+5nn\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{7^{n}+5^{n}}

Arrancamos sacando factor común adentro de la raíz 7n7^n ("el que manda")

lim⁡n→+∞ 7n(1+(57)n)n\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{7^n(1 + (\frac{5}{7})^n)}

Distribuimos la raíz enésima y simplificamos lo que podemos:

lim⁡n→+∞ 7⋅1+(57)nn\lim_{n \to +\infty} 7 \cdot \sqrt[n]{1 + (\frac{5}{7})^n}

Y ahora, fijate que (57)n (\frac{5}{7})^n tiende a 00 porque 57<1 \frac{5}{7} < 1 . Es decir, lo de adentro de la raíz enésima tiende a 11... y raíz enésima de un número, ¿a dónde tiende? ¡A 11! 

Aclaración: Eso lo vimos en la clase de raíces enésimas, si todavía no la viste mirala que es cortito :)

Por lo tanto:

lim⁡n→+∞ 7⋅1+(57)nn=7⋅1=7\lim_{n \to +\infty} 7 \cdot \sqrt[n]{1 + (\frac{5}{7})^n} = 7 \cdot 1 = 7
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